x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। x কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং x কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে।

r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

প্রথম শর্তানুযায়ী:

\(x\) কে ৪ দ্বারা ভাগ করা হলে \(r\) অবশিষ্ট থাকে।

সুতরাং, \(0 \le r < 4\)।

\(r\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো ০, ১, ২, ৩।

\(r^2 + R\) এর সর্বোচ্চ মান বের করার জন্য, \(r\) এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান নিতে হবে।

\(r\) এর সর্বোচ্চ মান হলো ৩।

এই ক্ষেত্রে, \(r^2 = 3^2 = 9\)।

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী:

\(x\) কে ৯ দ্বারা ভাগ করা হলে \(R\) অবশিষ্ট থাকে।

সুতরাং, \(0 \le R < 9\)।

\(R\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮।

\(r^2 + R\) এর সর্বোচ্চ মান বের করার জন্য, \(R\) এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান নিতে হবে।

\(R\) এর সর্বোচ্চ মান হলো ৮।

এখন, \(r^2 + R\) এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান হিসাব করি:

\(r_{সর্বোচ্চ}^2 + R_{সর্বোচ্চ} = 3^2 + 8 = 9 + 8 = 17\)

আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে \(r=3\) এবং \(R=8\) একই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(x\) এর জন্য সম্ভব।

অর্থাৎ, এমন একটি \(x\) সংখ্যা আছে কিনা যা ৪ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে এবং ৯ দ্বারা ভাগ করলে ৮ অবশিষ্ট থাকে?

মডুলার অ্যারিথমেটিক (Modular Arithmetic) ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:

\(x \equiv 3 \pmod{4}\)

\(x \equiv 8 \pmod{9}\)

প্রথম শর্ত থেকে, \(x\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো: ৩, ৭, ১১, ১৫, ১৯, ২৩, ২৭, ৩১, ৩৫, ...

দ্বিতীয় শর্ত থেকে, \(x\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো: ৮, ১৭, ২৬, ৩৫, ...

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ৩৫ একটি সাধারণ সংখ্যা যা উভয় শর্ত পূরণ করে।

• ৩৫ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে: \(35 = 4 \times 8 + 3\), এখানে \(r=3\)।
• ৩৫ কে ৯ দ্বারা ভাগ করলে: \(35 = 9 \times 3 + 8\), এখানে \(R=8\)।

যেহেতু \(r=3\) এবং \(R=8\) একই সংখ্যা \(x=35\) এর জন্য সম্ভব, তাই \(r^2 + R\) এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান হবে \(3^2 + 8 = 9 + 8 = 17\)।